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本文来自微信公众号：常识分子，作家：丁玖，原文标题：《一位华侨数学家 40 年目击之怪近况：好意思国粹生的数学为什么那么差？》，题图来自：AI 生成

最近在《常识分子》上读到一篇特写《数学战役警示录：咱们需要什么样的数学培植？》，颇有叹息。在这俄乌战役已持续三年过剩、中东冲突也经常阴云密布的不安全世界中，文章标题前半部中的"战役"一词，如实容易震憾读者那敏锐的厌战神经，尽管它比方的是由于好意思国培植家和数学家对于"数学培植"长期论争累积而成的弥散在北好意思上空的"战役炊火"。

这一场经年累月的"数学战役"的平直瓜葛者是好意思国的一代代学生。标题下半部的问话——"咱们需要什么样的数学培植？"，倒是一个好问题，因为它对中好意思两国师生齐是至关遑急的大问题。

然而，这又是一个极难回应的问题。淌若数学培植家、做事数学家、中小学数学敦朴、修数学课的青少年学生和学生家长各任命几位代表组成"评分委员会"的话，那么他们对此的磋议将会特殊利害。

非论在好意思国照旧在中国，这几类东说念主对"数学培植"的释义、泄露及不雅念可能互相大相径庭，建议的求解想路致使可能以火去蛾。然而，集想广益、畅所欲为，先不雅察、后想索、想前程、提有打算，老是处分辣手问题的一个善策。是以咱们行为《常识分子》的诚恳读者，应该积极应付，想方设法，从他国的正反执行中吸取警告，共同致力提高我国数学培植的水和善效能。

本年六月一日，我从教了整整三十五年书的一所好意思国筹商型公立大学精采退休，积聚了对这个国度从初比及高档数学培植方方面面的多少不雅察。在这篇文章里，我试图描画我所看到乃嫡亲自体验的好意思国数学培植，并建议我方的点滴感念，以投砾引珠。

14-5 等于 11？

我于 1986 年元旦赴好意思，去了密歇根州立大学数学系读博士学位。为了获取责任酬劳支付念书及生存支出，我同期也在系里担任教学助理，先当习题课敦朴，后主讲小班初等微积分。1990 年获取学位后，我应聘担任另一所州立大学的精采助理教授而起先全职教书，直至退休。

之前，我在国内也教过数学，最早的执行是在 14 周岁那年，刚高中毕业不久的我当了一个月的代课敦朴，教了一个初中班的数学，第一节课讲的是奈何算计球冠的体积。1984 年在本科母校南京大学数学系拿到硕士学位后，我留系任教，第一个学年教了物理系和天文系壮盛的基础课"甲类高档数学"，第二个学年的秋季学期教了本系大四学生的专科课"最优化表面和设施"，然后我就出洋留学去了。

在曩昔的几十年间，期骗归国窥伺的契机，我曾经在多地屡次讲明过大学数学课程。这么说来，我在中好意思两国齐教过书，对两国的培植尤其是数学培植有进行一些相比的基础。

我对好意思国数学培植的初步印象产生在我到达留学主张地密歇根州立大学后的第一个学季中，2016 年，商务印书馆出书了我的书《亲历好意思国培植：三十年的体验与想考》，书中第三章特意回忆了我这个走马就职的异邦筹商生"新的发现"，包括对好意思国理工科大学生数学常识近况的发现：

"来到占大地积可以掩盖五十个南大饱读楼老校区的密歇根州立大学，第一次给好意思国大学生教室答疑前，我想，班上是全世界最发达国度的学生，他们的脑子也一定是最灵光的，常识也一定是最丰富的，一定要使出满身解数教，不成让他们小看我方。没意料，一个小时下来，学生问的问题十分毛糙，齐是我想齐不要想就能完全回应的。

比如像多项式这么的最毛糙初等函数的导数运算，或一元二次方程的求根公式。我诧异地发现，大部分东说念主齐背不出咱们从小就牢记滚瓜烂熟的最基本代数恒等式，像平方差公式之类的。我致使齐怀疑他们是否读过高中，因为这些初等代数的常识对于中国的大部分初中生，齐已掌捏得透熟。

这么的学生毕业后，真的能成为好意思国五行八作到处齐有的特出科学家和工程师吗？刚刚参加好意思国高档培植体系的我，的确百想不得其解。"

我其时的日志中还记下了另一件事。那天是 1986 年 10 月 9 日，我因监考所教习题课班级的期中训导而在教室内往返来往，不测中瞥见别称女生在答卷上将 14-5 的谜底写成等于 11，目击此等中国小学一年龄水平的算术荒唐，我心生贵重之心，便用手指了一指这个"等式"暗意她再好好地算一下，但她却对持回应我：" Yes， it ’ s eleven（对，即是 11）"。我于是急中生智，举手遵守。

刚到好意思国不久的我，由于在教学中常遭受这类例子，起先寻找"为何是这么？"的谜底。我曾经推测，原因无意是这个有四万五千名学生的大学鸿沟太大，或者是由于基础课大班突出百东说念主的听课学生东说念主数太多，从而使得授课教授的教学成果不彰。

其实否则，十年后我的一位一又友告诉我，他所任教的好意思国一所著名的私立东说念主文体院，固然全校唯有戋戋两千多名学生，而且从世界各地考进去的基本上齐是高中母校的优秀毕业生，但班上的大学生，绝大无数根蒂没背过解一元二次方程的求根公式。

然而，这个学校的毕业生中却出了无数个特出东说念主才，包括了宋好意思龄、谢冰心、希拉里 · 克林顿 ( Hillary R. Clinton ) 和玛德琳 · 奥尔布赖特 ( Madeleine Albright ) 等中国东说念主耳熏目染的申明赫赫。又过了十来年，我的教授一又友请我去给他班上的学生讲点"函数迭代"的基本想想，在我准备讲稿时他关照我"讲浅点，讲浅点"。

我就读的密歇根州立大学是一所很可以的公立大学，它是好意思国第一家"政府授地"大学，亦然第一家农学院，理工科各系齐有建树斐然的学者，有不少专科在全好意思享有闻名，包括名挨次一的核物理。照理说，壮盛们在高中阶段应该学得很好，尤其是进理工院系深造的那些，应该曾经将高中数学——代数、几何、三角——透澈地掌捏了。然而实践却冲破我的联想，我决定要在接下来的日子里连续不雅察。

数学培植家和数学家之战

我发现其中一个根源是好意思国那群"数学培植家"，这些数学培植鸿沟的大师或行政官员，一般从事培植设施的教学和筹商，但对培植的学科内容却柔顺不够，致使枯竭有饱和深度的泄露。他们中的大部分在培植学院任教。他们的培植理念佛过几代东说念主的秉承和鼓励曾经树大根深，连那些深谙培植之说念何况喜爱学生的著名创造型数学家也难以撼动。

这种理念在好意思国轻佻发端于百年前实用主义形而上学家杜威的当代培植学说，更早的起源可在十九世纪法国发蒙主义想想家的部分文章中找到。然而，正如列宁说过的一句警戒之语"真理哪怕是上前迈出一小步就会变成误差"，恰是那些不懂培植真义却能决定培植神志的那些东说念主，误将发蒙主义的想潮用于本人具有特殊司法的培植鸿沟而导致了好意思国数学培植的大溃逃。

几十年间，好意思国留意"逾越主义 ( progressivism ) "形而上学与持传统教学不雅念的两派数学责任者，互相之间因不雅念冲突而持续较量，杀青是庞杂寰球对中小学数学培植不时下跌的水平日趋起火。在此大布景下，已打下逾越主义烙迹的国度数学教师委员会于 1980 年建议了一个标题为"活动的规定" ( An Agenda for Action ) 的陈说，其中称基础数学培植要"藏身于处分问题"，而不成"先完全掌捏解题妙技"，主张致使小学生也应被允许用算计器而不是用手算。

陈说强调学生"探索式发现"以处分真确世界的问题。这么一来，高中传统数学课程可以不分代数几何三角比物丑类讲明，而是一锅端，形成十年后的"概述数学"大杂烩讲义，致使日后微积分的遑急性也被弱化。

到了 1989 年，国度数学教师委员会进一步建议了"学校数学课程和测试范例"，它的 24 名制定者除了两位是中小学教师外，其余大齐是培植学院的教授，数学家的数量为零。然而，这种数学内容不够的"范例"为何能在全好意思大行其说念呢？一个原因是逾越主义培植大师们善于簸弄主意游戏来迷惑东说念主心，比如误导性收受"领会豪情学"中的建构主义 ( constructivism ) 来宣传他们所提倡的培植理念。

一些在学术筹商除外精炼花时候的数学家特此撰文酌量。《好意思国数学会文书》也刊登过一些著名数学家的文章，重铺数学培植的"正确之说念"。二十年前，我在好意思国数学会的一次地区性会议的数学培植分会场，亲眼目击华侨数学家伍鸿熙教授激辩一群数学培植家，品评他们撰写的中小学数学教材"不对逻辑"。正因为不测中发现加州公立学校的数学培植景象令东说念主忧虑，这位几何学家挺身而出，为全好意思数学培植走向平时化豪放到精采退休为止。

到了九十年代初，我曾经成了别称助理教授，好意思国国度科学基金会也加入了"逾越主义"的行列，除了鼎力打造中小学数学教材，也对大学的微积分教科书起先"改良"，其中最著名确当数所谓的"哈佛微积分"。这本教材的挂帅编者是哈佛别称培植学院的教师，编写组东说念主员为其他参与大学和中学的几位敦朴，包括我系的一双老婆，丈夫是早已不作念数学筹商的资深副教授，爱妻是唯有硕士学位的讲师。

由于他们参加了写稿班子，作品出炉后我系必须用它行为微积分教本。这不仅令任课教师麻烦，更让修课学生朦拢，因为此书到处齐是算计器的影子，学生只可盲目随着它们去"探索发现"微积分的玄妙。平等地，频繁对微积分的先修课程高中代数的条目降到了最低。

行为一个例子，咱们望望这本书是奈何讲明函数的导数的。这是微积分里学完连气儿函数后的第一个要津主意，是积分想想的前奏曲。然而，本书让初度学到这个新主意的大一壮盛如同在修一门算计数学专科课：用差商代替导数！这即是逾越主义者奉若神明的"探索性学习法"，什么极限历程，什么" ε-δ "谈话，完全滚开！

这本教材似乎要让学生深信：导数即是差商，只消对自变量取极度围聚的两个数，求出它们对应的函数值，然后作念两个减法，再将它们相除一下，导数就现身而出。

在国度数学教师委员会阿谁污名昭著的 1980 年陈说问世三年后，幸而里根总统政府培植部任命的一个特设委员会建议了一个不雅点舌剑唇枪、指标天差地别的陈说《危机中的国度》 ( A Nation at Risk ) 。它并非危言耸听地指出："咱们国度的培植基础正被粗拙所侵蚀，恐吓着咱们国度和民族的改日"。

它追到地发现，改日充实数学教师军队的大学壮盛，好多东说念主基础薄弱，在高中收成位于中下到垫底不等。这么的东说念主改日手执教鞭，岂不误东说念主子弟？然而，重病在身的好意思国数学培植，四十年来却未能归附元气，于今仍未康复。

好意思国普通数学培植失败在那里

跨入新世纪，我也在大学全职教了十年书，讲明了多门或浅或深从本科到博士不等的数学课，从高中生学过的初等代数到博士生基础课泛函分析我齐教过。尽管我的教学受到学生们浩荡的称许，连我的教授共事也说我"是个天生的教师"，然而在教书这少许上，我内心一直感到追到：班上绝大无数学生包括筹商生的数学领会进程是差之又差的，他们无法与我教过一年半的南京大学的学生比。天然，这在好意思国确凿通盘的公立大学齐是一般性的存在。

既然国度层面早就相识到提高中小学生数学常识的战术遑急性，为什么好意思国普通大学生的数学水平几十年来难以提高？冰冻三尺非一日之寒。这一方面来自上节所述的对于培植秩序的两派不雅念之争，另一方面，这也与长期以来好意思国中小学数学教师的教授联系。

我曾经屡次教过本系夏日学期筹商生课程，班上的学生除了硕士生或博士生外，还有部分是只可在暑假前来注册修课的高中数学敦朴，有的致使来自外州，他们在任攻读数学培植硕士或博士学位。十余年前，为了让这些中学数学敦朴学到少许当代数学分支破碎能源系统的主意和设施，我开了一门名叫"能源几何"的课，意在通过迭代三角形，让学过火至教过欧几里得平面几何的他们开启从有序到恶浊的几何之旅。

当讲到"垂足三角形"迭代并构造其对应的一类我曾参与筹商并发表过几篇学术论文的分形时，我先在黑板上画上一个锐角三角形，然后从它的每一个顶点作其对边的垂线，得到的三个垂足组成原先三角形的垂足三角形，将这个三角形拿走（三条边保留住来），那么原先的大三角形内剩下三个小三角形，这完成了制造对应分形的无尽次迭代的第一次迭代，之后对每一个剩下的更小三角形依样画葫芦，直至无尽。为了获取最终形成的阿谁称之为"谢尔宾斯基垂足三角形 ( Sierpi ń ski pedal triangle ) "分形的维数性质，需要阐述这三个小三角形齐与运转采用的大三角形一样。见下图所示：

要阐述这大小四个三角形两两一样，即阐述它们的对应角特别，只需用到三垂线交于少许的事实和四点共圆及圆周角的性质，这些齐是初等几何的基本内容。我深信中国读过中学数学的东说念主齐应该会作念，考上大学的更不在话下了。既然听我课的齐是筹商生和中学数学教师，我想请他们来阐述，趁便摸摸他们的数学根底，于是我就问谁精炼上黑板展示一下。我等了很久，却莫得一个东说念主举手上讲台。

这即是好意思国中学数学敦朴自我画出的一幅数学图景。他们在本国接受了一起的培植，在小学阶段基本上是不被条目熟记"小九九乘法口诀表"的，因为他们的敦朴和家长也莫得背过，然而他们很早就学会使用电子算计器，因为有影响力的培植大师们饱读吹他们只管用，而算计器制造商则依赖有天资和创造力的工程师不时创新家具，不时增强算计绘图功能，让这帮孩子用得方粗浅便，爱不忍释，谜底手到拿来。

在中学阶段，他们的敦朴解一元一次方程时在黑板上分五步作念，比方说解 3x + 2 = 5。第一步，双方加上 -2：3x + 2 + ( -2 ) = 5 + ( -2 ) ；第二步，改写：3x + 0 = 3；第三步，化简：3x = 3；第四步，双方除以 3：3x/3 = 3/3；第五步，化简得到解：x = 1。敦朴这么教是因为他们不知说念"移项换绚烂"的便利，也莫得东说念主曾让他们像中国初中生那样可以一步到位快速完成这些毛糙运算并一口清地陈说谜底。更无须说在初中代数课堂上，敦朴会呐喊学生背诵平方差公式等最基本的代数恒等式。

到了高中学平面几何，看上去厚厚的教材印刷详尽，图形姹紫嫣红，翰墨山外有山。然而却少了中国几何教本中的最遑急内涵：推理阐述。在"探索法学习"的大旗斥地下，学生捧在手中的几何读本，功能确凿等同于"直不雅泄露"，似乎在"看图识字"，而毁灭了欧几里得几何的精髓。这个精髓即是：通过寥寥几条公理和公设，推上演平面几何的通盘命题，如三角形的内角和必定是 180 度。这个精髓引颈了近代科学，把东说念主类从愚昧中转圜了出来。

这就能解释为何我讲明《高档微积分》学年课程第一学期的期中训导第一题，绝大无数修课的数学系本科生和筹商生齐作念不出来，因为他们在高中莫得受过几何阐述的浸礼。而这些答不出试卷本科生中的相等一部分东说念主将来的做事是中学数学敦朴。

这说念题是对于一个数集的上确界和下确界，该毛糙数集由通盘分数 1/n - 1/m 组成，其中 n 和 m 取通盘的天然数。尽管我早已明晰实践的懆急，讲明确界主意时花了远超教学大纲中计算的时候，番来覆去地例如解释上确界的界说，领会其意旨好奇：它是给定数集的一个上界，且在该数集的通盘上界中，它最小，即它是数集的"最小上界"。我也用 ε- 谈话形容了上确界：数 s 为数集 A 的上确界，当且仅当 s 大于或等于 A 中的所特别，且对自便正数 ε，存在 A 中的数 a 使得 a > s - ε。

这个不等式给出"比上确界更小的数不是上界"的数学抒发。天然，精准泄露这些等价谈话，必须具有逻辑推理的饱和武功，而这套武功的率先练武场即是中学平面几何命题阐述的课堂——这个练武场在好意思国的普通高中不知足迹。

天差地别的精英培植

但是，上述事例并不成得出好意思国的数学培植一塌朦拢的论断，更不成用来狡赖好意思国各地对资优培植的顶点防卫。好意思国的培植神志和它的意志花样具有相等的一致性，大体上是"留意开脱"。在学校，教师对学生的数学学习是除了必修课外，"任君选择"，但对母语的教师不遗余力，因而参加大学的学生，数学可以将 1/2 + 1/3 算成 2/5，但确凿个个能说会说念，毫不害羞。

另一方面，每所普通高中齐有小部分高天资学生，他们也有青云之志，对这么的勤学生，学校给他们开小灶，或修大学先行课程如" AP 微积分"，或送到隔邻的大学修课。因此好意思国青少年中的前百分之几的奢睿勤学者，最终成长为调动好意思国致使调动世界的纠合东说念主。

多年的不雅察让我早就看到，固然好意思国普通理工科大学生的数学基础，和中国的同类大学生比起来弱得多，但是在诸如此坦福大学就读的精英大学生中，好多东说念主的数学智商强于中国名牌大学的数学尖子。但在本文，咱们不磋议资优培植，只是着眼于从好意思国对普通学子数学培植的"失计"历史转头中吸取奈何的警告。

咱们需要什么样的数学培植

如上对好意思国中小学数学培植所走弯路以及对大学数学培植酿成危害的简要描画，实质上给咱们回应《常识分子》的发问"咱们需要什么样的数学培植？"提供了少许行踪，那即是：好的数学培植应该是好的敦朴灵验传授给学生对改日的发展行之灵验的基础常识、基本妙技，培养创造性想维的身手和举一反三应用所学的功夫。

更具体地说：东说念主类千百年间发现的数学基础常识是前东说念主留住的宝贵财产，是后东说念主能够创新的淳朴老本。青少年阶段应该像海绵般地千里浸于此，为改日打下坚实的基础。熟识操作的基本妙技是清闲掌捏基础常识以便将来能熟识应用所学常识的要津，容不得有半点的伪善和讨巧。

唯有在全面接纳基础常识以及对基本妙技行云流水后，东说念主们才有身手和潜质进一步从事"探索式的学习"，参加更高端倪的学习，乃至走向创造新常识、发明新时间之路，而不是历程违犯，在枯竭基础常识和基本妙技的情形下，就能举手之劳地发现新常识。这即是数学培植的逻辑方位和基本司法。

那种打着"探索性自主式学习"旌旗的"逾越主义教学法"开云(中国)Kaiyun官方网站，教出的学生只然而常识结构支离破灭却容易好高骛远，因为他们蓝本就空空的脑袋不可能容易系风捕景地探索出未尝学过的常识来。